质子成像诊断随机磁场技术

原文链接J. Plasma Phys. (2017), vol. 83, 905830614 doi:10.1017/S0022377817000939PROBLEM算法https://github.com/flash-center/PROBLEM.一. 质子成像技术简介质子成像亦称质子放射成像是激光-等离子体实验中一种重要的电磁诊断技术其应用涵盖实验室天体物理学和惯性聚变领域。该诊断技术通过将一束近似均匀的成像质子束穿过等离子体投射到空间分辨探测器上实现。成像质子在等离子体内部会受到电磁场产生的洛伦兹力作用进而形成非均匀的图像通量分布。然而作为一种二维诊断技术传统的质子成像装置无法完整呈现完整的三维电磁场构型只能得到二维的图像通量分布。此外众所周知图像通量结构的形态和强度与电磁场的等效特性并非直接对应。因此要让质子成像能够有效测量电磁场就需要根据产生图像的电磁场对质子通量图像进行解读。质子通量图像的解读通常有两种方法。第一种是模拟某种人工场与得到的图象进行对比既可以通过定制的电磁场生成方法也可以借助更通用的等离子体模拟工具随后引入预设的质子束再通过数值方法将其从源传播到探测器。将得到的质子通量图像与实验获取的图像进行对比两者之间的相似性被视为人工场与实验场相似的证据。另一种研究思路是对质子束的演化进行解析分析进而推导出图像通量分布关于生成该分布的电磁场的解析表达式。相关推导之所以具备可解性是因为质子的运动速度极快、数密度远低于宏观等离子体的特征密度 —— 这使得大量物理过程可以被忽略只有等离子体中固有电磁场产生的作用力会改变质子束的动力学行为。此外一系列假设条件可进一步简化模型例如点源发射的均匀单能质子束、近轴近似、质子小偏转角近似以及点投影近似。在这些条件下图像通量分布通常可以与路径积分场直接关联。二. 随机磁场产生的质子通量图像2.1 随机磁场的统计表征-磁能谱先简要描述随机磁场的统计描述方式考虑如下形式的静态磁场被约束在长方体区域内尺寸为l⊥×l⊥×lz其中第一项是随等离子体整体尺度变化的非随机平均场第二项是关联长度为lBlz的涨落场。通过引入空间平均算子来区分平均场和涨落场使得。我们仅关注静态场是因为相对于质子的快速运动磁场的演化被认为是缓慢的。本文将重点关注一种特定的磁场统计量磁能谱。其定义为其中δB(k) 是涨落磁场的三维傅里叶变换k 为波矢k∣k∣ 是波矢的模长积分对波矢空间中的立体角 Ω 进行。通常情况下磁能谱无法完整描述随机磁场。但将磁能谱作为研究核心是合适的原因有三点第一通过以下关系式可由磁能谱同时推导出涨落磁场的均方根强度 Brms​ 与磁场相关长度 lB。第二对于各向同性、非螺旋的高斯统计这一特殊情形磁能谱足以完整地表征随机磁场的统计特性。第三即便对于非高斯随机磁场磁能谱在多数场景下仍具有特殊意义它描述了磁场能量在不同波数尺度上的分布因此常作为理论预测的核心研究对象。2.2 等离子体成像映射从物理层面来看成像质子所受到的磁力会导致成像束发生整体重构。明确质子束分布函数与最终质子图像之间的普遍关系便能清晰体现这一点。然而在一些通常适用于质子成像装置的假设条件下这种关系的复杂程度会大幅降低。我们假设若干无量纲参数的数值较小具体包括质子源相对于等离子体的尺寸a/ri、质子成像装置的近轴参数、点投影参数以及质子偏离初始轨迹的偏转角大小δθ。我们同时假设re~ri。在上述渐近参数确实很小的极限情况下光束以二维近平面片的形式在与磁场相互作用后得以保持。此外质子通量在片层内的内部重新分布完全由等离子体内部获得的速度扰动决定。更具体地说可以证明初始垂直位置x⊥0的成像质子最终在探测器上的垂直位置为V是质子束初始速度假设单能w(x⊥0)为x⊥0处成像质子由磁力线引起的垂直速度偏转x(s)为质子轨迹w(x⊥0)是初始位置的函数。根据成像束内质子通量守恒成像通量分布ψ(x⊥(s))由 Kugland 成像通量关系式给出ψ0为初始通量分布假设均匀为关于初始等离子体坐标的梯度算符求和符号表明探测器上任意特定位置的总通量通常可由众多不同初始位置的质子共同贡献。重排速度偏转公式发现路径积分场可以由偏转场w得到假设随机磁场在统计上各向同性且均匀额外磁场平均值为0可以证明偏转场谱与磁能谱存在以下关系这个积分证明如果能从像通量分布中确定垂直偏转场w就能恢复磁能谱其中偏转场谱是垂直偏转场的二维傅里叶变换k⊥为垂直波矢2.3 对比度参数μ方程中雅可比矩阵元的物理含义是描述质子垂直速度初始梯度的相对大小与磁力引起的偏转所产生的梯度进行对比。从数学角度而言其大小通过对比度参数μ进行量化让磁场成像的规律有统一判据。质子被磁场掰偏的距离 ÷ 磁场结构的放大尺度→ 衡量磁场对质子的扭曲强度μ可以用来估算磁场强度除了定性估计外路径积分场能不能从实验数据中提取如何提取也取决于参数μ线性区μ≪1质子偏转小通量和磁场线性相关 → 能反演路径积分磁场 磁能谱非线性单射区μμc~1非线性畸变但质子轨迹不交叉 → 仍能唯一反演磁场焦散区μ≥μc质子轨迹交叉出现亮斑焦散 → 无法唯一反演磁场扩散区μ≫1质子混沌散射 → 只能测统计量不能反演磁场结构三. 对比度区域首先分别对线性、非线性单射、焦散和扩散区域进行一般性描述。先用数值模拟生成了一个如下形式的人工磁场并加了一个整体高斯包络σ是可调参数可以形成不同的对比度区间。μ和场强呈线性关系。3.1 质子成像的线性区域如果μ很小对于这个方程会变成Kugland通量方程会变成所以线性区域的质子通量显示可MHD电流的未偏转路径积分通量的偏差和路径积分电流呈线性关系。对上图的a和b来说处于线性区磁场引起的通量偏差很小对比度低质子坐标网格几乎没有畸变。相对通量均方根可以和通量涨落μ定量联系进而利用μ和磁场强度均方根的公式结合推导出另外在线性区路径积分磁场可以从通量分布中唯一重建因为无旋场可以用标量势的梯度表示然后通过泊松方程反演3.2 非线性单射区域μμc~1在非线性单射区域内μ足够大但是还没印达到使质子束发生自相交从而失去单射性坐标曲线没有互相交叉这时候Kugland通量关系可以表示为我们的目标是在已知左侧通量分布的情况下求解x⊥满足的方程注意到利用线性区定义的偏转势将非线性等离子体-成像映射可以重写为关于势函数的形式这个方程是Monge-Ampere方程的一个实例虽然具有非线性特征但是在neumann边界下Φ存在唯一的解。所以借助合适的重构算法可以从给定的质子通量图中重构处Φ进而计算垂直偏转场然后再计算路径积分磁场。对于该方程的求解有一个开源代码PROBLEMROton-imaged B-field nonLinear Extraction Module可以进行求解。同时由于磁场是无旋的单张的质子通量图可以反演出路径积分和磁场能谱。3.3 苛性状态μ≥μcμμc的时候垂直偏转场中的梯度足够大等离子体成像映射再部分区域变得多值质子在到达探测器前路径交叉一般来说μc约为1且随着磁场相关长度的增大而减小其多值性一般与焦散密切相关焦散被定义为等离子体成像映射行列式为0的曲线雅可比行列式描述映射的局部缩放比例当它为零时质子被磁场无限聚焦理论上通量密度趋于无穷大实际中受限于探测器分辨率表现为极亮的窄曲线即 “焦散线”如上图e所示质子通量图像被极亮的窄曲线焦散线主导这些亮线是质子轨迹交叉的位置与线性 / 非线性单射区的均匀畸变完全不同。实际探测器的有限分辨率会模糊理论上的无穷通量表现为高亮度的窄带结构。焦散线的宽度、强度和间距不直接反映磁场的真实性质。不能通过焦散线的形态定性推断磁场结构必须非常谨慎任何直接基于焦散特征的磁场解读都可能是错误的同一个质子通量分布可以对应多个不同的路径积分磁场。3.4 扩散区μ1此时质子在穿过等离子体的过程中会发生多次混沌散射轨迹完全失去单射性无法再通过常规方法反演路径积分磁场只能用统计扩散模型描述质子的整体行为。这是因为垂直偏转场不再能表示为偏转势的梯度路径积分磁场无法再用 “未偏转直线路径” 近似计算。另外扩散区的通量图像和焦散区有明显区别通量变化的幅度远不如焦散区剧烈图像整体呈现 “被抹平” 的效果原本的焦散亮线会逐渐消失因为初始位置相近的质子会被散射到完全不同的位置单个焦散的通量集中效应被削弱图像失去了与磁场结构的直接对应关系只能看到统计意义上的模糊效果。此时质子通量图象由扩散系数决定σ表示扩散模糊宽度描述扩散效应导致的图像 “抹平” 程度模糊宽度与磁场强度Brms​成正比与等离子体厚度lz​和磁场相关长度lB​的几何平均成正比与质子速度V成反比。如果被成像的随机磁场具有均匀的空间包络即磁场强度不随位置变化扩散模型预测初始均匀的通量分布经过扩散后不会出现相对通量偏差。对于空间包络变化的磁场扩散模型预测初始通量分布的不同区域会经历不同的扩散速率中心区域磁场更强扩散更剧烈通量被 “抹平”导致中心通量低于平均周围区域扩散较弱形成一个通量高于平均的环形结构。将扩散模型的预测与实际质子通量图像对比发现模型存在明显不足无法捕捉真实图像中的许多细节特征尤其是焦散结构仅对于小尺度磁场lB​更小扩散模型更准确此时焦散结构会被抑制。如果要在实验中识别扩散区可以通过测量整体通量损失或者引入部分遮挡观察边缘模糊程度来实现。3.5 场重构算法的数值演示为完成对四种对比度区间的表征通过数值方式在每个对比度区间中验证所提场重构算法在恢复路径积分场方面的有效性或无效性。更具体地说将场重构算法即PROBLEM代码应用于质子图像。下图展示了在每种情况下归一化至实际磁场均方根的重构路径积分场并将其与真实的路径积分场进行对比。还给出了利用谱关系式计算得到的能谱蓝色圆圈该计算是针对每种情况下的重构垂直偏转场进行的。为便于对比图中同时展示了场的真实能谱红线以及将线性区通量谱关系式直接应用于每种图像通量分布后得到的结果紫色圆圈。(a)展示了在线性区从质子图像中成功重构路径积分场的可能性可以看到该重构场在磁场形态和中心区域强度上均高度吻合。从同一质子通量图像中恢复磁能谱的结果如图(b)所示线性区通量谱关系式和偏转场谱关系式均能在能量主导的波数处恢复出正确的幂律分布。然而在更高波数处两种预测谱均出现了展平现象这一效应很可能由泊松噪声导致。(c)为非线性单射区反演效果结果和线性区一样重建的路径积分磁场在场强大小和方向上都与真实场高度吻合证明只要映射保持单射性μμc即使存在非线性畸变也能通过 Monge-Ampère 方程的解唯一且准确地重建磁场。使用偏转场谱关系反演的磁能谱在宽波数范围内完美还原了真实的 Golitsyn 幂律谱相比线性区这里的高波数噪声更小因为非线性单射区的通量偏差幅度更大泊松噪声的相对影响被削弱了。但如果在非线性区直接套用线性区的通量谱关系会导致反演结果完全失真。(e)为焦散区反演结果仅流线的大致方向还能勉强对应真实场但场强被严重低估典型强度远低于真实值也无法还原真实的 Golitsyn 谱。(g)为扩散态下的反演结果重建的路径积分磁场完全失真形态不再是随机磁场反而像规则场场强被低估了好几个数量级。磁能谱也被严重扭曲低波数的能量被大幅压制完全失去了原有的幂律特征。通过计算重建谱和真实值对比发现重建的偏转场强度永远是真实偏转场强度的下界因此反演得到的磁场强度也一定是真实磁场强度的下界不会高估只会低估。四. 技术细节4.1 假设4.1.1 点源产生的单能、瞬时均匀质子束质子束需满足单能、瞬时、点源发射、初始通量均匀单能近似聚变质子有固定特征能量能量分散3%且探测器可按能量分层成像单张图像对应近似单能质子。只有激光加速质子为热能谱若不满足单能假设通量关系需大幅修正。瞬时近似质子源脉宽10–100 ps、穿过等离子体的时间均远短于磁场演化的纳秒尺度成像可视为瞬时。若磁场随时间快速变化偏转场公式失效图像会变成不同时刻磁场的叠加。点源近似质子源尺寸10–50 μm远小于源到等离子体的距离1 cm近似成立。但无法分辨比质子源本身更小的磁场结构。初始通量均匀质子近似各向同性发射通量本应均匀但实验中存在最高 50% 的不均匀性可通过高通滤波分离磁场信号与初始通量起伏。4.1.2 近轴性质子源到等离子体的距离远大于等离子体尺寸可将球壳状质子束在等离子体处近似为平面波定义近轴参数δαl⊥/ri实验值 0.05–0.2≪1近似有效。增大 δα 不改变四大对比度区的定性特征仅大 δα 时图像边缘通量轻微衰减定量分析可引入高阶修正。4.1.3 点投影要求等离子体到探测器的距离远大于等离子体厚度定义参数δβlz/rs≪1物理上等离子体内磁力导致的质子位移可忽略主要位移来自出等离子体后的偏转自由漂移。实验中满足lz≪ri≪rs该假设天然成立。4.1.4 质子小偏转角假设质子偏转角δθ|w|/V≪1偏转速度远小于初始速度是推导垂直偏转场公式的基础可结合磁场、质子能量、尺度参数估算 δθδθ≪lB/lz是偏转场无旋的更严格条件。若 δθ~1系统必然进入扩散区μ≫1图像特征与扩散区一致且探测器总通量大幅损失。4.2 理论复杂性前几节中已指出随机磁场的成像可根据μ划分为四种一般模式其中两种模式线性模式与非线性单射模式下可直接从质子通量图像中提取路径积分场在各向同性的进一步假设下这足以确定随机磁场的磁能谱。尽管上述结论适用于许多随机磁场但对于另一些随机磁场所提出的分析技术的有效性需重新考量本节将对此展开讨论。4.2.1 空间非均匀各向异性场此前按 μ 划分的四种成像区域仅对局部均匀、各向同性随机场严格成立对非均匀 / 各向异性场无法从质子图唯一判定所属区域反演存在不适定性—— 完全不同的路径积分磁场可能产生几乎一样的通量图像。可以通过一个例子进一步说明这一现象两个显著不同的路径积分场包含不同的对比度区域产生了几乎相同的图像通量分布。尽管在没有额外信息的情况下从数学上无法区分路径积分场但在实际中原则上可采用多种定性测试方法。例如实际中可通过多能量质子对比如 3.3MeV 与 15MeV验证重建结果。即使在路径积分场可从其关联的质子通量图像中唯一提取的情况下对于空间非均匀场随机场的磁能谱也不一定能从路径积分场中提取。更具体地说磁能谱方程推导或线性模式通量谱关系均基于两个假设一是磁场统计量在质子束路径上不发生变化二是统计量在质子束方向的垂直和平行方向上相同。4.2.2 不同尺度下的可变μ从定义可以看出μ 具有尺度依赖性随着磁性结构的lB相较于成像质子的路径长度减小而增大。因此在质子成像装置中成像的磁性结构根据其强度和尺寸可能处于不同的对比度区域。对于多尺度随机场例如具有形如的幂律谱的场可以在特定尺度lB下对μ进行估算。对于这类幂律分布该尺度下的场强和μ满足对于p2μ会随尺度减小而降低对于p2则相反。对p2的陡峭谱更容易进行研究此时μ主要由大尺度结构决定小尺度场不影响反演效果。对p2的缓谱μ随尺度减小而增大这意味着质子图像的主要特征可能来自于小尺度结构下图是一个例子是波数范围跨越几个数量级的k-1谱产生的路径积分磁场生成质子通量图象可以看见最强的特征出现在小尺度上但路径积分磁场出现的大尺度结构没有体现而这种精细结构可能会被有限的分辨率掩盖。从定量的角度来说反演能力受限于小尺度下的扩散散射小尺度磁场会先进入焦散区把大尺度结构搅乱导致哪怕大尺度本身满足单射条件也无法正常重建。如下图大尺度的 μμc本该可重建但小尺度 μμc焦散如图b大尺度结构被小尺度焦散弥散、搅乱图像多尺度混乱只有滤掉小尺度cd图像才能立刻回到非线性单射区图像清晰、可重建。这时候的重建场只能抓到磁场的大致形态精细结构消失导致高波数区域失真。4.3 实验中的复杂因素4.3.1 泊松噪声质子计数有限带来的固有噪声会造成磁能谱畸变尤其在线性区、低通量、弱信号时更明显但可通过公式预估噪声水平非线性重建算法能抑制畸变且实验上可通过优化布局降低噪声影响一般不阻碍分析。4.3.2 初始通量分布不均匀实验中质子初始通量并非理想均匀会导致无法区分图像起伏是来自磁场还是源本身甚至出现不同磁场 不同初始通量得到相同图像的不适定问题可通过高通滤波去除大尺度初始起伏提取真实磁场信号大尺度磁场带来的影响通常可忽略。4.3.3 有限质子源尺寸导致的图像展宽有限源使图像与点扩散函数卷积分辨率下降模糊精细结构难以区分非线性单射区与焦散区判别方法用多能量质子对比成像结合磁场重建算法一致性检验可有效识别焦散展宽会压低重建磁场强度、截断磁能谱高波数可用Richardson–Lucy 反卷积恢复图像显著提升重建精度。